第七章  第三节 圆轴扭转

一、圆轴扭转的概念

工程背景

力学模型

扭转变形的特点：

1)受力特点 在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。

2)变形特点 横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。

二、扭矩和扭矩图

    首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最后进行轴的强度及刚度计算。

1、外力偶矩的计算

式中，Me为外力偶矩（N·mm）；      P为功率（kW）；

      n为转速（r／min）。

主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同；

从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。

2、圆轴扭转时的内力——扭矩torque

截面法求横截面的内力

规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：

以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。

　注意：“正”“负”不是计算出来的。

3、扭矩图

例 输入一个不变转矩Me1，不计摩擦，轴输出的阻力矩为

Me2＝2Me1／3，Me3＝Me1／3，外力偶矩Me1、Me2、Me3将轴

分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。

扭矩图——用平行于杆轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线。

例6-1 转动轴如图所示，转速n=300rpm，主动轮A输入功

率PA=22.1kW，从动轮B、C输出功率分别为PB=14.8kW，PC=7.3kW。试求：1） 作用在轴上的外力偶矩；2） 横截面上的扭矩。

解：1） 求作用在轴上的外力偶矩

2） 计算横截面上的扭矩   作扭矩图

二．圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算

1．圆轴扭转时横截面上的应力

应力与变形有关，观察变形：

在小变形的情况下：

（1)各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。

（2）所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度g 。

扭转变形的平面假设：圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地发生刚性转动。

在平面假设的基础上，扭转变形可以看作是各横截面像刚性平面一样，绕轴线作相对转动，由此可以得出：

（1）扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。

（2）扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了相对转动并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。

根据静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力计算公式根据静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力计算公式

   式中，t_r为横截面上任一点的切应力（MPa ）；M_T 为横截面上的扭矩（N mm ）； r为欲求应力的点到圆心的距离（mm ）；I_r 为截面对圆心的极惯性矩（mm⁴）。 

圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大(r=R )，其值为                      

式中，W_p为抗扭截面系数（mm³）

    极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小与截面的形状和尺寸有关。

(1) 实心轴， 设直径为D，  

(2)空心轴，设外径为D，内径为d，a=d/D

2．圆轴扭转时的强度计算

对于阶梯轴，因为抗扭截面系数W_p不是常量，最大工作应力_max不一定发生在最大扭矩M_Tmax 所在的截面上。要综合考虑扭矩M_T 和抗扭截面系数W_p，按这两个因素来确定最大切应力_max。

塑性材料：  [t]=(0.5~0.6) [s_l]

脆性材料：  [t]=(0.8~1.0) [s_l]

例6-1 某一传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=582r/min ，直径d=55mm ，材料的许用切应力[t]=50MPa，试校核该轴的强度。

解 （1）计算外力偶矩

（2）计算扭矩。该轴可认为是在其两端面上受一对平衡的外力偶矩作用，由截面法得   M_T=M_e=1312700N mm

（3）校核强度

所以，轴的强度满足要求。

三 圆轴扭转时的变形和刚度计算

1. 圆轴扭转时的变形扭角

t——圆轴扭转时，任意两横截面产生的相对角位移。

   等直圆轴的扭角f的大小与扭矩M_T及轴的长度L成正比，与横截面的极惯性矩I_p成反比，引入比例常数G

f为扭角（rad）； G 为材料的切变模量(GPa)。

当扭矩M_T 及杆长L一定时，GI_p 越大，扭角f就越小，GI_p 反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。如果两截面之间的扭矩值 有变化，或轴径不同，则应分段计算出相应各段的扭角，然后叠加。

2．扭转时的刚度计算

等直圆轴的刚度条件：

q_max为单位长度的最大扭角，单位为rad/m ，而工程上许用单位长度扭角[q]的单位为⁰/m

注意：对于阶梯轴，因为极惯性矩I_p 不是常量，所以最大单位长度扭角不一定发生在最大扭矩M_Tmax 所在的轴段上。要综合考虑扭矩M_T和极惯性矩I_p来确定最大单位长度扭角q_max 。

应用扭转强度条件：校核强度、设计截面和确定许可载荷。

例6-2 图示阶梯轴，直径分别为d₁=40mm ，d₂=55mm ，已知C轮输入转矩M_ec=1432.5Nm ，A轮输出转矩M_eA=620.8Nm ，轴的转速n=200r/min ，轴材料的许用切应力[t]=60MPa，许用单位长度扭角[q]=2⁰/m ，切变模量G=80GPa ，试校核该轴的强度和刚度。

解 （1）作扭矩图

M_Tmax在BC段，但AB段较细。危险截面可能发生在的d₁截面处，也可能发生在BC段。

（2）校核强度    AB段

BC段

轴的强度满足要求。

（3）校核刚度  AB段

BC段

轴的刚度也满足要求